Меню

Внутреннее сопротивление rэк эквивалентного генератора равно



Метод эквивалентного генератора

В некоторых случаях при расчете электрической цепи нас интересуют ток, напряжение, мощность только в какой-либо одной ветви схемы. Тогда, чтобы упростить задачу и не рассчитывать всю цепь, применяют метод эквивалентного генератора.

Прежде чем перейти к методу эквивалентного генератора, докажем теорему о компенсации.

Теорема о компенсации. Любой пассивный элемент электрической цепи можно заменить активным элементом, величина ЭДС которого равна падению напряжения на пассивном элементе, а направление противоположно направлению тока в нем.

Докажем эквивалентность такой замены. Рассмотрим для пимера схемы (рис. 3.9, а,б).

Заменим пассивный элемент R1 источником ЭДС Е1.

Для схемы а запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

.

Отсюда выразим ток в виде

.

Для схемы б второй закон Кирхгофа запишется в следующей форме:

.

Ток выразим в виде

.

При эквивалентной замене ток в сопротивлении R должен остаться неизменным, а он не изменится только в том случае, если , что и требовалось доказать.

В любой электрической схеме всегда можно мысленно выделить какую-то одну ветвь, а всю остальную часть схемы, независимо от ее структуры, условно изобразить прямоугольником (рис. 3.10).

Например, выделим ветвь с сопротивлением R5, а всю остальную часть заключим в прямоугольник.

Заключенную в прямоугольник часть схемы, которая двумя выводами подключается к выделенной ветви, называют двухполюсником.

Чаще всего нас не интересует часть схемы, заключенная в двухполюснике, и его обозначают прямоугольником с двумя выводами, к которым присоединяется интересующая нас ветвь (рис. 3.11).

Если внутренняя схема двухполюсника содержит только пассивные элементы, то такой двухполюсник называется пассивным и в прямоугольнике ставится буква П, если внутренняя схема двухполюсника содержит активные элементы, то есть источники ЭДС или тока, то такой двухполюсник называется активным и в прямоугольнике ставится буква А.

Внутреннюю схему двухполюсника всегда можно разбить на участки, и эти участки, пользуясь теоремой о компенсации, заменить эквивалентными источниками. Тогда двухполюсник по отношению к выделенной ветви будет представлять собой некоторый эквивалентный генератор (рис. 3.12).

Тогда ток, протекающий в выделенной ветви, можно определить, используя формулу

.

Таким образом, всякий активный двухполюсник может быть заменен эквивалентным генератором с ЭДС Еэк и внутренним сопротивлением Rэк. Для того чтобы токораспределение во внешней цепи не изменилось, должны соблюдаться следующие требования:

1) ЭДС эквивалентного генератора Еэк равна напряжению на зажимах ab двухполюсника при холостом ходе Еэк= Uabxx;

2) внутреннее сопротивление эквивалентного генератора Rэк равно эквивалентному сопротивлению двухполюсника относительно зажимов ab.

Таким образом, расчет цепи методом эквивалентного генератора сводится к определению параметров эквивалентного генератора Еэк и Rэк.

Параметры эквивалентного генератора можно определить двумя способами: экспериментальным и расчетным.

Экспериментальный способ – это единственный путь определения параметров эквивалентного генератора, если неизвестна схема соединений двухполюсника. Суть его сводится к следующему.

1. При разомкнутых зажимах ab, то есть в режиме холостого хода (R = ∞ и I = 0), измеряют напряжение на зажимах ab Uаbхх. Согласно требованию 1 Uаbхх = Еэк.

2. При замкнутых зажимах ab, то есть в режиме короткого замыкания (R = 0), измеряют ток в выделенной ветви Iкз (это можно сделать, отсоединив сопротивление R и подключив к зажимам ab амперметр, сопротивление которого мало, поэтому его можно считать замыкающим проводником).

Читайте также:  Ремонт генератора бмв ф10

Ток короткого замыкания связан с ЭДС источника соотношением

,

.

Расчетный способ применяется тогда, когда известна схема внутренних соединений двухполюсника и параметры входящих в нее сопротивлений и ЭДС. Рассмотрим этот способ на конкретном примере (рис. 3.13).

Выделяем нагрузочную ветвь с сопротивлением Rн, заключая остальную часть схемы в прямоугольник. Эта часть схемы представляет собой двухполюсник с зажимами ab.

Мысленно закоротив источник ЭДС, находим эквивалентное сопротивление двухполюсника по отношению к зажимам ab, которое согласно требованию 2 равно внутреннему сопротивлению эквивалентного генератора:

3. Определим ЭДС эквивалентного генератора Еэк, равную напряжению на зажимах ab при холостом ходе. Для этого отсоединим сопротивление нагрузки, схема примет вид (рис. 3.14).

Так как ветвь с сопротивлением R4 разомкнута, ток будет протекать только по контуру R1R3R2, то есть

.

Напряжение на зажимах ab будет равно напряжению на зажимах cb:

Зная Rэк и Еэк, находим ток в нагрузке

Нагрузка эквивалентного генератора согласно закону Джоуля – Ленца потребляет мощность, определяемую выражением

.

В режиме холостого хода ток равен нулю, следовательно, потребляемая мощность равна нулю. В режиме короткого замыкания нулю равно сопротивление нагрузки, следовательно, мощность так же не потребляется Р = 0. Таким образом, следует предположить, что в нагрузочном режиме с ростом сопротивления нагрузки мощность сначала увеличивается до некоторого максимального значения, а потом спадает до нуля (рис. 3.15).

Найдем условие, при котором нагрузка эквивалентного генератора потребляет максимальную мощность.

Мощность в нагрузке согласно закону Джоуля – Ленца определяется выражением

.

Подставим выражение для тока в формулу мощности:

.

Исследуем это выражение на экстремум. Функция имеет экстремум при условии равенства нулю ее первой производной.

.

Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:

.

Преобразуем это выражение следующим образом:

.

Отсюда получаем .

Взяв вторую производную, можно доказать, что она отрицательна, следовательно, мощность максимальна при сопротивлении нагрузки, равном сопротивлению эквивалентного генератора. Такое сопротивление нагрузки Rc называется согласованным.

Максимальную мощность можно определить по формуле

.

На рис. 3.15 показано изменение мощности, потребляемой нагрузкой при изменении сопротивления нагрузки от нуля до бесконечности.

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение простых и сложных цепей.

2. Опишите порядок расчета простых цепей методом эквивалентных преобразований.

3. Опишите порядок расчета простых цепей методом пропорциональных величин.

4. В чем состоит метод расчета сложных электрических цепей, основанный на прямом использовании законов Киргофа?

5. Назовите достоинства и недостатки этого метода.

6. В чем состоит метод контурных токов?

7. Как определить собственные и взаимные сопротивления?

8. Поясните правило знаков при определении истинных токов по известным контурным токам.

9. Назовите достоинства и недостатки метода контурных токов.

10. В чем состоит метод узловых потенциалов?

11. Назовите достоинства и недостатки этого метода.

12. В каком случае применим метод двух узлов?

13. Что позволяет определить этот метод?

14. В чем состоит метод наложения?

15. Как при расчетах электрической цепи методом наложения определить истинные токи в ветвях?

16. Сформулируйте теорему о компенсации.

Читайте также:  Причина малого тока генератора

17. Что называют двухполюсником?

18. Какие существуют способы определения параметров эквивалентного генератора?

19. Поясните, при каком условии в двухполюснике выделится максимальная мощность?

Источник

Метод эквивалентного генератора

Этот метод основан на сформулированной выше теореме (см. подраздел 1.4) и применяется в тех случаях, когда требуется рассчитать ток в какой-либо одной ветви при нескольких значениях ее параметров (сопротивления и ЭДС) и неизменных параметрах всей остальной цепи.

Сущность метода заключается в следующем. Вся цепь относительно зажимов интересующей нас ветви представляется как активный двухполюсник, который заменяется эквивалентным генератором, к зажимам которого подключается интересующая нас ветвь. В итоге получается простая неразветвленная цепь, ток в которой определяется по закону Ома.

ЭДС ЕЭ эквивалентного генератора и его внутреннее сопротивление RЭ находятся из режимов холостого хода и короткого замыкания двухполюсника.

Порядок решения задачи этим методом рассмотрим на конкретном числовом примере.

Пример 1.5. В цепи, показанной на рис. 1.20, а, требуется рассчитать ток I3 при шести различных значениях сопротивления R3 и по результатам расчета построить график зависимости I3(R3).

Числовые значения параметров цепи: Е1 = 225 В; Е3 = 30 В; R1 = 3 Ом; R2 = 6 Ом.

Р е ш е н и е. а) Расчет режима холостого хода.

Убираем третью ветвь, оставляя зажимы m и n разомкнутыми (рис. 1.21, а). Напряжение между ними, равное UX, находится как падение напряжения на сопротивлении R2:


б) Расчет режима короткого замыкания. Замыкаем накоротко зажимы m и n (рис. 1.21, б). Ток короткого замыкания 75 А.

Внутреннее сопротивление эквивалентного генератора:

Величину RЭ можно найти и другим способом. Оно равно входному сопротивлению двухполюсника при равенстве нулю всех его ЭДС. Если на рис. 1.21, а мысленно закоротить зажимы ЭДС Е1, то сопротивления R1 и R2 окажутся соединенными параллельно, и входное сопротивление цепи относительно зажимов m и n будет равно:

Ток в полученной неразветвленной цепи (рис. 1.20, б) определяется по закону Ома:

Подставляя в последнюю формулу требуемые значения сопротивления R3, вычисляем ток и строим график (рис. 1.22).

Данную задачу целесообразно решать именно методом эквивалентного генератора. Применение другого метода, например метода контурных токов, потребует решать систему уравнений столько раз, сколько значений тока необходимо найти. Здесь же всю цепь мы рассчитываем только два раза, определяя ЕЭ и RЭ, а многократно используем лишь одну простую формулу (1.13).

Источник

Как определить для разветвленной цепи опытным путём параметры эквивалентного генератора?

Ответы на вопросы к экзамену

Как определить взаимные проводимости (расчетным и экспериментальным путем)?

Коэффициенты с разными индексами gmn называют взаимными проводимостями(или передаточными). Взаимная проводимость gmn равна току в ветви m при действии единственной ЭДС, равной 1 В и включенной в ветви n, когда в остальных ветвях отсутствуют ЭДС и источники токов.

Взаимные проводимости можно определять опытным путем. Для этого из исследуемой цепи удаляют все источники ЭДС и источники токов, кроме одной ЭДС в нужной ветви Ek. Измерив, токи Ik и Im, рассчитывают взаимную проводимость gmk=Im/Ek и входную проводимость gkk=Ik/Ek.

В чем заключается принцип линейности? Как определить соответствующие коэффициенты.

Принцип линейности. Если в линейной электрической цепи изменяется ЭДС или сопротивление в какой-либо одной цепи, то две любые величины (U или I) двух любых ветвей связаны друг с другом линейными зависимостями вида

Читайте также:  Генератор ваз 2108 1990 года

Аналогичная зависимость получается при изменениях этих величин в двух ветвях, тогда

Коэффициенты а, b в уравнении (3.1) определяются расчетным путем или экспериментально. Для этого нужно знать напряжения (или токи) для двух различных режимов. Подставляя эти значения в уравнение 3.1, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными. Решая систему уравнений, определим коэффициенты а, b.

Аналогично, для определения коэффициентов а, b, c в уравнении 3.2 необходимо иметь данные для трех режимов и решить систему из трех уравнений. Следует иметь в виду, что в качестве у, x, z могут фигурировать только U и I, но ни в коем случае R.

Как определить для разветвленной цепи опытным путём параметры эквивалентного генератора?

Электрическую схему, содержащую два выходных конца (зажима), называют двухполюсником. Если внутри этой схемы имеются источники, то такой двухполюсник называют активным (рис. 3.1, а), если источников нет, то – пассивным (рис. 3.1, б).

Покажем, что активный двухполюсник можно заменить эквивалентным генератором (рис. 3.1, в), у которого Eэ равно напряжению холостого хода на разомкнутых зажимах двухполюсника, а сопротивление Rэ – входному сопротивлению двухполюсника.

Для этого некоторую схему представим в виде активного двухполюсника (рис. 3.2, а) и присоединенной к нему ветви с током I (рис. 3.2, б). Включим в эту ветвь две ЭДС, равные по величине, но встречно направленные (ток I при этом не изменится).

Представим ток I как сумму токов , учитывающую все ЭДС схемы и E1, а также тока I΄΄, учитывающего только E2 (это следует из уравнений 2.2, 2.3). Выберем величину включенных ЭДС равной величине напряжения холостого хода Uхх, когда двухполюсник отключен от R (рис. 3.2, а). Тогда ток , а ток , где RЭ – сопротивление двухполюсника (его определяют, исключив из схемы, представленной двухполюсником, все источники тока и ЭДС).

Совокупность эквивалентного сопротивления и источника ЭДС величиной EЭ (равной напряжению холостого хода двухполюсника) можно рассматривать, как некоторый эквивалентный генератор с внутренним сопротивлением RЭ и ЭДС, равной EЭ=Uхх.

Расчет тока в некоторой ветви разветвленной электрической схемы сводится к замене части схемы, не содержащей требуемую ветвь, эквивалентным генератором и последующему определению тока .

Найти параметры эквивалентного генератора можно экспериментально и расчетным путем (если известны сопротивления и ЭДС двухполюсника).

Для экспериментальногоопределения нужно измерить напряжение на разомкнутых зажимах двухполюсника (тем самым определим Uхх и EЭ), а затем замкнуть зажимы двухполюсника накоротко и измерить ток короткого замыкания. Тогда сопротивление эквивалентного генератора .

Если можно ожидать недопустимо большого тока короткого замыкания, то замыкают двухполюсник на известное сопротивление R, и тогда, измерив , находят .

Расчетнымпутем параметры эквивалентного генератора находят следующим образом:

1) отключив исследуемую ветвь из схемы, находят напряжение холостого хода на разомкнутых зажимах образовавшегося двухполюсника Uхх=Eэ;

2) исключив из схемы двухполюсника все источники (источники ЭДС закорачивают, а ветви с источниками тока разрывают), находят сопротивление оставшейся схемы со стороны разомкнутых зажимов. Это сопротивление равно сопротивлению эквивалентного генератора.

Источник